Barbare baron Barre-Rond

Exemple de 7 ensembles distincts obtenus par adhérence-intérieur... dans R². Le grisé représente le sable, les bords flous désignent les ouverts.

L'exercice suivant est un classique :

Étant donné un espace topologique X fixé et E une partie de X, on lui associe la classe des sous-ensembles F de X qui sont :

• E
• L'adhérence d'un tel F (noté AF)
• L'intérieur d'un tel F (noté IF)

 Trouver E tel que cette classe ait le plus grand cardinal possible.

Quelque soit X, le maximum possible est 7, en effet on peut montrer que

AIAIE = AIE

(et symétriquement : OUILLE)

Il suffit pour cela de montrer que AIAU = AU pour n'importe quel ouvert U.

• Or comme U est ouvert et AU ⊃ U, 
• on a IAU ⊃ U
• Donc AIAU ⊃ AU ⊃ IAU
• Or AIAU est le plus petit fermé qui contienne IAU et AU est un fermé qui contient IAU
• Ainsi AU = AIAU

Finalement les F possibles sont :

E, AE, IE, IAE, AIE, AIAE, IAIE

et c'est tout !

L'image représente une solution dans R². Mais même dans R, il est possible d'obtenir un tel E, en combinant les 3 types de sous ensembles de R

• Les points : {0}
• Les trous : [1,3] \ {2}
• Le sable (ni point, ni trou et les deux à la fois) : Q ∩ [-2,-1]

 J'en profite pour remercier Aurélien, qui m'a signalé ce problème et sa solution.