Ensembles II

Un autre graphe patatoïdo-Venn, pour les structures usuelles.

Il est peut être moins clair que le précédent
mais, il fait apparaître plus de choses, notamment l'incompatibilité de la structure d'espace vectoriel et de la compacité topologique.

Mon rêve c'est de faire le même pour décrire la catégorie des catégories... inch'allah

Répartition politique

Alors voila, le graphe suivant est sans doute bourré d'erreurs et d'imprécisions, mais tant que je reste seul juge des grandeurs réellement décrites, il existe un sens pour lequel il est correct.

C'est le graphe de la répartition des partis politiques suivant les 2 axes ( X : comme Xénophobie, L :  comme libéralisme)
La seule utilité des centristes est de donner le centre.

Encore une fois, ce graphe est purement personnel, et construit au vu de citations de tel ou tel autre homme politique associé à tel parti qui me permettent de répartir son parti entre ses extrêmes.

La question intéressante pourrait être de trouver les dimensions à ajouter ( "importance de l'éducation", "importance de la défense", "importance de l'écologie",...)
qui permettent in fine de séparer toute les classes politiques les unes des autres (si c'est possible)

Pour bien montrer que ce graphe ne sera jamais parfait, voici une amélioration qu'on pourrait en donner :

Le capitalisme est un équilibre de Nash

Supposons qu'un pays choisisse de taxer (un peu plus) le capital, d'augmenter les garanties sociales, les salaires, les retraites...

Les investisseurs, actionnaires voyant une partie de leurs bonus s'envoler décident d'investir ailleurs...
Le pays se retrouve face à une baisse de ses capitaux.

Pour tout pays, il est donc localement optimal de rester dans le capitalisme... alors que, et là on entre dans des avis qui sont purement personnels, si tous les pays taxaient uniformément le capital de manière plus significative, les biens serait mieux répartis. Et donc, on aurait un maximum global du bonheur (fitness) des populations.

D'un point de vue "pratique", quand on est bloqué par un optimum local, il n'y a pas d'autre choix que de secouer tout le système, pour repartir explorer l'espace :  c'est ce qu'on appelle, dans le domaine humain, une révolution mondiale.

Jeux de Pavages

Il existe des pavés qui ne peuvent paver le plan que de manière apériodique, ainsi un ordinateur ne pourra jamais répondre à la question : "Est-ce que cet ensemble de pavés peut paver le plan via cet ensemble d'isométries ?"
(cf : wikipédia, pavage de Penrose)

De la même manière l'homme essayant de répondre à la question se trouve face à une immensité combinatoire d'emboîtements possibles, un peu comme quand on joue une partie d'échec, et que l'on se rend soudain compte de la quantité incroyable de possibilités.
Tout cela peut presque se rapprocher de l'expérience mystique "classique", ou l'homme regardant les étoiles prend soudain conscience de sa petitesse dans l'univers.

Cette expérience est en fait de l'onanisme intellectuel, une sorte de plaisir de la conscience. C'est ce plaisir qui explique l'aspect ludique des échecs et autres jeux dont l'immensité des possibilités est perceptible.
Entre autre, cela explique la quantité incroyable de jeux "de pavages", c'est à dire dont le but est de construire un pavage :

Principe des classes préparatoires

Je trouve que ça résume bien les choses.

(Toute ressemblance du début avec un slogan politique célèbre serait purement fortuite)

Déterminisme en physique

Onques je me demandoy quid du libre arbitre dans la physique moderne ?


Le libre arbitre tel que définit par Conway et Kochen, pour des besoins technique est simplement le non-déterminisme : "il n'existe pas de fonction d'état de l'univers qui permette de calculer l'état futur d'un individu soumis au libre arbitre". Et cette non existence est également valable pour une fonction définie ad hoc, car toute chose égale par ailleur, l'individu libre de ses choix aurait pu faire l'autre choix.

La véritable question est de savoir si une telle chose existe qui ne soit pas le hasard (il y a-t-il du blanc entre le rose et le bleu sur le schéma ?)
Reste le libre arbitre au sens humain : surement pas déterministe (pourquoi ? parce que personne n'aime cette idée) et qui ne peut tout de même pas être aléatoire (même raison)
L'un comme l'autre, personne ne veut croire que sa volonté est dictée par un dé ou écrite dans les étoiles.

Ce schéma est organisé du haut vers le bas, du plus simple (calculable) au plus complexe (aléatoire pure).

La place de la physique quantique peut gêner certains, en effet la mécanique quantique est purement déterministe (équation de Schrödinger), c'est au voisinage de la physique usuelle (mesure) que ces phénomènes deviennent aléatoires.

Pour ce qui est des Univers de Pavages c'est un exemple d'univers déterministe non-calculable (cf Penrose  "Les deux infinis de l'esprit humain"). Le temps de cet univers est discret et l'état de l'univers est donné par deux ensembles de pavés. La règle d'évolution vérifie si les pavés d'un des ensembles pavent le plan, c'est ce qu'on appelle le problème de Wang qui n'est pas calculable. D'autres exemples existent peut être dans notre physique bien à nous...

Universal Turing Machine for Warcraft III

Vous connaissez peut-être (sans doute) le jeu vidéo de 'stratégie' en temps réel Warcraft 3.
Il est doté d'un éditeur de carte et de scénarios nommé World Editor, qui est d'une puissance phénoménale. Il permet de modifier la quasi totalité des règles et constantes du jeu pouvant ainsi créer des jeux de saute moutons, arcade, rpg, ... dans l'univers Warcraft.

Cet éditeur est tellement puissant que je me suis attaché à (en quelque sorte) démontrer sa puissance. Si vous avez lu le titre, vous comprenez sans doute où je veux en venir : j'ai construit une machine de Turing universelle sous Warcraft !

Le fichier se comporte comme une carte Warcraft habituelle, on peut y 'jouer' (nécessite W3 + tFT )
Pour rendre la chose un peu plus ludique, on commence par construire les états de sa machine (un peu comme on construit sa base sous warcraft 3), puis on édite la table de la machine, enfin, on peut modifier le ruban avant de lancer la machine... amusez vous bien !


Disponible gratuitement en téléchargement : ici.
(sous license CC pour tout ce qui n'est pas sous copyright Blizzard)

Sémantique du noyau

Et encore  j'ai passé sous silences les interprétations que pourrait en donner un physicien nucléaire, un botaniste, un géologue, ...

Théorème de Lagrange

Une démonstration du théorème de Lagrange "à la main" : sans la propriété universelle du quotient...Elle est donc accessible à un étudiant de Mpsi.

Théorème de Lagrange

Si je me souviens bien, quand notre professeur de Mpsi nous l'as démontré elle a dit: "voila, c'est la première fois que vous faites des maths pour de vrai... C'est surprenant, mais c'est ça les maths !"

Straight from The Book

Une démonstration topologique de l'infinité des nombres premiers...

Infinité des nombres premiers

Elle semble vraiment sortie du "Livre" imaginé par Paul Erdös

Suites

Voici une fiche de MPSI sur les suites (à valeur réelles ou au pire complexes)

Fiche suites

Ensembles...

Même avec les ensembles tout ne devient pas forcément possible (demandez à Russell). Mais on peut quand même faire pas mal de choses:

Structures Algébriques

Voici un graphe des structures algébriques les plus utiles; de manière intuitive, plus on descend dans le graphe, plus l'espace est raffiné et rare.

Grand Opening

Je passe mon temps à faire des fiches, des corrigés, des démonstrations, des graphes et des dessins qui restent cloîtrés sur mon disque dur.
Aujourd'hui, en hommage à Michael Stone, j'ouvre ce blog qui pourra être utile à des étudiants de tout niveau depuis la prépas jusqu'au master... du moins je l'espère.