Todd a la classe

Barbare baron Barre-Rond

Exemple de 7 ensembles distincts obtenus par adhérence-intérieur... dans R². Le grisé représente le sable, les bords flous désignent les ouverts.

L'exercice suivant est un classique :

Étant donné un espace topologique X fixé et E une partie de X, on lui associe la classe des sous-ensembles F de X qui sont :

• E
• L'adhérence d'un tel F (noté AF)
• L'intérieur d'un tel F (noté IF)

 Trouver E tel que cette classe ait le plus grand cardinal possible.

Quelque soit X, le maximum possible est 7, en effet on peut montrer que

AIAIE = AIE

(et symétriquement : OUILLE)

Il suffit pour cela de montrer que AIAU = AU pour n'importe quel ouvert U.

• Or comme U est ouvert et AU ⊃ U, 
• on a IAU ⊃ U
• Donc AIAU ⊃ AU ⊃ IAU
• Or AIAU est le plus petit fermé qui contienne IAU et AU est un fermé qui contient IAU
• Ainsi AU = AIAU

Finalement les F possibles sont :

E, AE, IE, IAE, AIE, AIAE, IAIE

et c'est tout !

L'image représente une solution dans R². Mais même dans R, il est possible d'obtenir un tel E, en combinant les 3 types de sous ensembles de R

• Les points : {0}
• Les trous : [1,3] \ {2}
• Le sable (ni point, ni trou et les deux à la fois) : Q ∩ [-2,-1]

 J'en profite pour remercier Aurélien, qui m'a signalé ce problème et sa solution.

Rings at your bell II

Après avoir revu mes cours de géométrie algébrique, j'ai pu améliorer la diagramme de Venn de l'article précédent.

La distinction dimension/régularité est arbitraire ( les propriétés telles que Noetherien ou Cohen-maccaulay assurent plutôt que le concept de dimension est bien défini. )

 Et malheureusement, j'ai l'impression que pour des raisons liées au théorème de Helly, il sera impossible d'ajouter simplement d'autres classes d'anneaux (de Dedekind, de Bezout, à valuation…) sans détruire les énoncés des théorèmes de la forme "artinien + intègre = corps".

Syracuse reformulé

Peut-être vous êtes vous déjà amusés avec le célèbre problème «3n+1» appelé aussi conjecture de Syracuse (ou de Collatz) pour d'obscures raisons.

Le principe est de transformer un entier n en n/2 si celui-ci était pair et en 3n+1 si il était impair. La question est alors simple : Est-ce que toute itération de ce procédé conduit inexorablement au cycle 1-4-2 ?

À ce jour, la question reste ouverte bien que de nombreux résultats existent (longueur minimale d'un éventuel cycle, résultats probabilistes…)

En fait on peut voir le problème de Syracuse comme un système de réécriture de termes (en gros c'est une grammaire formelle dont les règles peuvent contenir des schémas).

Pour cela, il faut avant tout coder les entiers, nous allons donc utiliser le meilleur codage qui soit : le codage par bâtons !
On considère un symbole 0 de constante et un symbole S (pour successeur) de fonction d'arité 1. L'entier n est alors codé par S…S0 où S est itéré n fois.
Mais on sera amené à considérer le double ou le triple d'un nombre, il faut donc deux nouveaux symboles : D (pour double) et T (pour triple) qui satisfont les équations :

• DSx ~ SSDx     c'est-à-dire    2(x+1) = 2x+1+1  
• TSx ~ SSSTx 

 (pour des raisons qui seront claires plus tard, la première équations sera utilisée dans le sens réciproque et la seconde dans le sens direct)

Enfin pour encadrer le codage de l'entier et pouvoir appliquer les règles, on a besoin d'un symbole-le-plus-à-gauche noté L, également d'arité 1.

Reste à traduire les règles du jeu (Syracuse) :

• Si le nombre est pair, c'est-à-dire de la forme 2x, alors on peut dériver x ce qui donne :
  LDx → Lx
• Si un nombre est impair, c'est-à-dire de la forme 2x+1, alors on peut dériver 3(2x+1)+1 ce qui donne :
  LSDx → LSTSDx

À partir de là, il faut se rappeler que notre but est de simplifier le plus possible l'expression (pour arriver peut-être à LS0), il faut donc éliminer les D et T. On a déjà une règle d'élimination des D, c'est pour cela qu'il faudra les faire remonter vers la gauche. Et on ajoute alors :

• Règle d'élimination des T : T0 → 0
• Règle d'introduction des D (il faut bien qu'ils apparaissent quelque-part et qu'on les fasse remonter pour qu'on puisse exprimer notre nombre sous la forme 2n ou 2n+1)  : 0 → D0
• Commutativité : TDx → DTx

 L'enchaînement de ces chaînes de caractères au cours des itérations de la fonction de Syracuse (S = Gris, D = Vert, T = Rouge).

Cette vision permet d'illustrer un théorème (qui fait l'objet d'un développement d'agrégation, cf [Baader-Nipkow]) qui stipule que la terminaison d'un système de réécriture est indécidable. En effet dans le cas contraire on saurait depuis longtemps ce qu'il en est des suites de Syracuse.

C'est fonctionnel donc ça marche !

(cliquez pour agrandir)

Graphe représentant les espaces fonctionnels usuels. Je peaufine celui-là depuis un certain temps déjà sans jamais me décider (doit-on faire apparaître les espaces de Sobolev ? Les espaces de Lebesgue "loc" ?) ou encore pour corriger à chaque fois des erreurs (L'espace de Schwarz n'as pas de produit de convolution interne, par contre on peut convoler n'importe quelle distribution avec un distribution à support compact).

Enfin j'ai vainement essayé de faire apparaître la dualité à la manière d'un miroir, mais cette vision a ses limites (le bidual n'est plus ce qu'il était).

Des graphes similaires et plus complets (bien que pas en couleur…) sont présent dans Dunford & Schwartz, Linear Operator I & II

Rings at your bell !

Les anneaux : l'inclusion de patatoïdes représente l'implication des propriétés qu'ils représentent.

Plusieurs théorèmes d'équivalence sont cachés dans le dessin :

• Un anneau à la fois local et euclidien est un corps.
• Un anneau à la fois artinien et intègre est un corps.

Ils peuvent se voir quand l'intersection de deux patatoïde (ex : local et euclidien) est exactement égale à au patatoïde le plus fort (ex : corps).

Places à l'agrégation et politique

Un bon graphe vaut mieux qu'un long discours (en tous les cas, l'un comme l'autre gagnent à être continus plutôt que discontinus)

Graphe du nombre de places
à l'agrégation externe de mathématiques

en fonction de la date
(la tendance politique au pouvoir étant indiquée en couleur)

Si j'étais pas concerné (si tant est que je le sois) je me permettrai un petit "lol".