mercredi 24 février 2016
jeudi 28 janvier 2016
Barbare baron Barre-Rond
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| Exemple de 7 ensembles distincts obtenus par adhérence-intérieur... dans R². Le grisé représente le sable, les bords flous désignent les ouverts. |
Étant donné un espace topologique X fixé et E une partie de X, on lui associe la classe des sous-ensembles F de X qui sont :
- E
- L'adhérence d'un tel F (noté AF)
- L'intérieur d'un tel F (noté IF)
Quelque soit X, le maximum possible est 7, en effet on peut montrer que
AIAIE = AIE
(et symétriquement : OUILLE)
Il suffit pour cela de montrer que AIAU = AU pour n'importe quel ouvert U.
- Or comme U est ouvert et AU ⊃ U,
- on a IAU ⊃ U
- Donc AIAU ⊃ AU ⊃ IAU
- Or AIAU est le plus petit fermé qui contienne IAU et AU est un fermé qui contient IAU
- Ainsi AU = AIAU
E, AE, IE, IAE, AIE, AIAE, IAIE
et c'est tout !
L'image représente une solution dans R². Mais même dans R, il est possible d'obtenir un tel E, en combinant les 3 types de sous ensembles de R
- Les points : {0}
- Les trous : [1,3] \ {2}
- Le sable (ni point, ni trou et les deux à la fois) : Q ∩ [-2,-1]
J'en profite pour remercier Aurélien, qui m'a signalé ce problème et sa solution.
mardi 17 septembre 2013
Rings at your bell II
La distinction dimension/régularité est arbitraire ( les propriétés telles que Noetherien ou Cohen-maccaulay assurent plutôt que le concept de dimension est bien défini. )
Et malheureusement, j'ai l'impression que pour des raisons liées au théorème de Helly, il sera impossible d'ajouter simplement d'autres classes d'anneaux (de Dedekind, de Bezout, à valuation…) sans détruire les énoncés des théorèmes de la forme "artinien + intègre = corps".
vendredi 31 août 2012
Syracuse reformulé
Peut-être vous êtes vous déjà amusés avec le célèbre problème «3n+1» appelé aussi conjecture de Syracuse (ou de Collatz) pour d'obscures raisons.
Le principe est de transformer un entier n en n/2 si celui-ci était pair et en 3n+1 si il était impair. La question est alors simple : Est-ce que toute itération de ce procédé conduit inexorablement au cycle 1-4-2 ?
À ce jour, la question reste ouverte bien que de nombreux résultats existent (longueur minimale d'un éventuel cycle, résultats probabilistes…)
En fait on peut voir le problème de Syracuse comme un système de réécriture de termes (en gros c'est une grammaire formelle dont les règles peuvent contenir des schémas).
Pour cela, il faut avant tout coder les entiers, nous allons donc utiliser le meilleur codage qui soit : le codage par bâtons !
On considère un symbole 0 de constante et un symbole S (pour successeur) de fonction d'arité 1. L'entier n est alors codé par S…S0 où S est itéré n fois.
Mais on sera amené à considérer le double ou le triple d'un nombre, il faut donc deux nouveaux symboles : D (pour double) et T (pour triple) qui satisfont les équations :
Enfin pour encadrer le codage de l'entier et pouvoir appliquer les règles, on a besoin d'un symbole-le-plus-à-gauche noté L, également d'arité 1.
Reste à traduire les règles du jeu (Syracuse) :
L'enchaînement de ces chaînes de caractères au cours des itérations de la fonction de Syracuse (S = Gris, D = Vert, T = Rouge).
Cette vision permet d'illustrer un théorème (qui fait l'objet d'un développement d'agrégation, cf [Baader-Nipkow]) qui stipule que la terminaison d'un système de réécriture est indécidable. En effet dans le cas contraire on saurait depuis longtemps ce qu'il en est des suites de Syracuse.
Le principe est de transformer un entier n en n/2 si celui-ci était pair et en 3n+1 si il était impair. La question est alors simple : Est-ce que toute itération de ce procédé conduit inexorablement au cycle 1-4-2 ?
À ce jour, la question reste ouverte bien que de nombreux résultats existent (longueur minimale d'un éventuel cycle, résultats probabilistes…)
En fait on peut voir le problème de Syracuse comme un système de réécriture de termes (en gros c'est une grammaire formelle dont les règles peuvent contenir des schémas).
Pour cela, il faut avant tout coder les entiers, nous allons donc utiliser le meilleur codage qui soit : le codage par bâtons !
On considère un symbole 0 de constante et un symbole S (pour successeur) de fonction d'arité 1. L'entier n est alors codé par S…S0 où S est itéré n fois.
Mais on sera amené à considérer le double ou le triple d'un nombre, il faut donc deux nouveaux symboles : D (pour double) et T (pour triple) qui satisfont les équations :
- DSx ~ SSDx c'est-à-dire 2(x+1) = 2x+1+1
- TSx ~ SSSTx
Enfin pour encadrer le codage de l'entier et pouvoir appliquer les règles, on a besoin d'un symbole-le-plus-à-gauche noté L, également d'arité 1.
Reste à traduire les règles du jeu (Syracuse) :
- Si le nombre est pair, c'est-à-dire de la forme 2x, alors on peut dériver x ce qui donne :
LDx → Lx - Si un nombre est impair, c'est-à-dire de la forme 2x+1, alors on peut dériver 3(2x+1)+1 ce qui donne :
LSDx → LSTSDx
- Règle d'élimination des T : T0 → 0
- Règle d'introduction des D (il faut bien qu'ils apparaissent quelque-part et qu'on les fasse remonter pour qu'on puisse exprimer notre nombre sous la forme 2n ou 2n+1) : 0 → D0
- Commutativité : TDx → DTx
Cette vision permet d'illustrer un théorème (qui fait l'objet d'un développement d'agrégation, cf [Baader-Nipkow]) qui stipule que la terminaison d'un système de réécriture est indécidable. En effet dans le cas contraire on saurait depuis longtemps ce qu'il en est des suites de Syracuse.
jeudi 30 août 2012
C'est fonctionnel donc ça marche !
(cliquez pour agrandir)
Graphe représentant les espaces fonctionnels usuels. Je peaufine celui-là depuis un certain temps déjà sans jamais me décider (doit-on faire apparaître les espaces de Sobolev ? Les espaces de Lebesgue "loc" ?) ou encore pour corriger à chaque fois des erreurs (L'espace de Schwarz n'as pas de produit de convolution interne, par contre on peut convoler n'importe quelle distribution avec un distribution à support compact).
Enfin j'ai vainement essayé de faire apparaître la dualité à la manière d'un miroir, mais cette vision a ses limites (le bidual n'est plus ce qu'il était).
Des graphes similaires et plus complets (bien que pas en couleur…) sont présent dans Dunford & Schwartz, Linear Operator I & II
mercredi 21 septembre 2011
Rings at your bell !
Plusieurs théorèmes d'équivalence sont cachés dans le dessin :
- Un anneau à la fois local et euclidien est un corps.
- Un anneau à la fois artinien et intègre est un corps.
jeudi 16 juin 2011
Places à l'agrégation et politique
Un bon graphe vaut mieux qu'un long discours (en tous les cas, l'un comme l'autre gagnent à être continus plutôt que discontinus)
Graphe du nombre de places
à l'agrégation externe de mathématiques
à l'agrégation externe de mathématiques
en fonction de la date
(la tendance politique au pouvoir étant indiquée en couleur)
(la tendance politique au pouvoir étant indiquée en couleur)
Si j'étais pas concerné (si tant est que je le sois) je me permettrai un petit "lol".
jeudi 7 avril 2011
Hahn-Banach en dimension 2
Voila une preuve, propre, sans l'axiome du choix, du théorème de séparation de Hahn-Banach (géométrique) en dimension 2 : HB2
Je pense que l'idée de base est généralisable pour une démonstration au moins en dimension finie. Modulo un gros travail technique...
J'y réfléchi et on s'appelle !
ps : Toi qui aime Hahn-Banach et ce genre de beaux résultats, va écouter Les Improbables !
Je pense que l'idée de base est généralisable pour une démonstration au moins en dimension finie. Modulo un gros travail technique...
J'y réfléchi et on s'appelle !
ps : Toi qui aime Hahn-Banach et ce genre de beaux résultats, va écouter Les Improbables !
mardi 1 février 2011
Graph is not dead !
Voici le graphe des passes les plus courantes en rock 4 temps.
Savoir danser consiste à parcourir le graphe correctement et sans perdre une plombe à réfléchir à ce qu'on va faire après.
(Malheureusement, les noms des passes ne sont pas universels)
Savoir danser consiste à parcourir le graphe correctement et sans perdre une plombe à réfléchir à ce qu'on va faire après.
(Malheureusement, les noms des passes ne sont pas universels)
vendredi 7 janvier 2011
Geometry of Shyness
Assis dans le train, le bus, le métro... en face d'une jolie fille
On l'observe,
croise son regard,
détourne les yeux,
reviens à la charge,
repars aussi sec.
Gêné, on se tourne ailleurs,
c'est trop grossier,
aussi voyant que si on la regardait en face !
que faire...?
Si c'est la nuit ;
la vitre deviens miroir,
la nuit, belle endormie...
On l'observe,
croise son regard,
détourne les yeux,
reviens à la charge,
repars aussi sec.
Gêné, on se tourne ailleurs,
c'est trop grossier,
aussi voyant que si on la regardait en face !
que faire...?
Si c'est la nuit ;
la vitre deviens miroir,
la nuit, belle endormie...
vendredi 26 novembre 2010
Ensembles II
Un autre graphe patatoïdo-Venn, pour les structures usuelles.
Il est peut être moins clair que le précédent
mais, il fait apparaître plus de choses, notamment l'incompatibilité de la structure d'espace vectoriel et de la compacité topologique.
Mon rêve c'est de faire le même pour décrire la catégorie des catégories... inch'allah
Il est peut être moins clair que le précédent
mais, il fait apparaître plus de choses, notamment l'incompatibilité de la structure d'espace vectoriel et de la compacité topologique.
Mon rêve c'est de faire le même pour décrire la catégorie des catégories... inch'allah
jeudi 18 novembre 2010
Répartition politique
Alors voila, le graphe suivant est sans doute bourré d'erreurs et d'imprécisions, mais tant que je reste seul juge des grandeurs réellement décrites, il existe un sens pour lequel il est correct.
C'est le graphe de la répartition des partis politiques suivant les 2 axes ( X : comme Xénophobie, L : comme libéralisme)
La seule utilité des centristes est de donner le centre.
Encore une fois, ce graphe est purement personnel, et construit au vu de citations de tel ou tel autre homme politique associé à tel parti qui me permettent de répartir son parti entre ses extrêmes.
La question intéressante pourrait être de trouver les dimensions à ajouter ( "importance de l'éducation", "importance de la défense", "importance de l'écologie",...)
qui permettent in fine de séparer toute les classes politiques les unes des autres (si c'est possible)
Pour bien montrer que ce graphe ne sera jamais parfait, voici une amélioration qu'on pourrait en donner :
C'est le graphe de la répartition des partis politiques suivant les 2 axes ( X : comme Xénophobie, L : comme libéralisme)
La seule utilité des centristes est de donner le centre.
Encore une fois, ce graphe est purement personnel, et construit au vu de citations de tel ou tel autre homme politique associé à tel parti qui me permettent de répartir son parti entre ses extrêmes.
La question intéressante pourrait être de trouver les dimensions à ajouter ( "importance de l'éducation", "importance de la défense", "importance de l'écologie",...)
qui permettent in fine de séparer toute les classes politiques les unes des autres (si c'est possible)
Pour bien montrer que ce graphe ne sera jamais parfait, voici une amélioration qu'on pourrait en donner :
lundi 4 octobre 2010
Le capitalisme est un équilibre de Nash
Supposons qu'un pays choisisse de taxer (un peu plus) le capital, d'augmenter les garanties sociales, les salaires, les retraites...
Les investisseurs, actionnaires voyant une partie de leurs bonus s'envoler décident d'investir ailleurs...
Le pays se retrouve face à une baisse de ses capitaux.
Pour tout pays, il est donc localement optimal de rester dans le capitalisme... alors que, et là on entre dans des avis qui sont purement personnels, si tous les pays taxaient uniformément le capital de manière plus significative, les biens serait mieux répartis. Et donc, on aurait un maximum global du bonheur (fitness) des populations.
D'un point de vue "pratique", quand on est bloqué par un optimum local, il n'y a pas d'autre choix que de secouer tout le système, pour repartir explorer l'espace : c'est ce qu'on appelle, dans le domaine humain, une révolution mondiale.
Les investisseurs, actionnaires voyant une partie de leurs bonus s'envoler décident d'investir ailleurs...
Le pays se retrouve face à une baisse de ses capitaux.
Pour tout pays, il est donc localement optimal de rester dans le capitalisme... alors que, et là on entre dans des avis qui sont purement personnels, si tous les pays taxaient uniformément le capital de manière plus significative, les biens serait mieux répartis. Et donc, on aurait un maximum global du bonheur (fitness) des populations.
D'un point de vue "pratique", quand on est bloqué par un optimum local, il n'y a pas d'autre choix que de secouer tout le système, pour repartir explorer l'espace : c'est ce qu'on appelle, dans le domaine humain, une révolution mondiale.
dimanche 12 septembre 2010
Jeux de Pavages
Il existe des pavés qui ne peuvent paver le plan que de manière apériodique, ainsi un ordinateur ne pourra jamais répondre à la question : "Est-ce que cet ensemble de pavés peut paver le plan via cet ensemble d'isométries ?"
(cf : wikipédia, pavage de Penrose)
De la même manière l'homme essayant de répondre à la question se trouve face à une immensité combinatoire d'emboîtements possibles, un peu comme quand on joue une partie d'échec, et que l'on se rend soudain compte de la quantité incroyable de possibilités.
Tout cela peut presque se rapprocher de l'expérience mystique "classique", ou l'homme regardant les étoiles prend soudain conscience de sa petitesse dans l'univers.
Cette expérience est en fait de l'onanisme intellectuel, une sorte de plaisir de la conscience. C'est ce plaisir qui explique l'aspect ludique des échecs et autres jeux dont l'immensité des possibilités est perceptible.
Entre autre, cela explique la quantité incroyable de jeux "de pavages", c'est à dire dont le but est de construire un pavage :
(cf : wikipédia, pavage de Penrose)
De la même manière l'homme essayant de répondre à la question se trouve face à une immensité combinatoire d'emboîtements possibles, un peu comme quand on joue une partie d'échec, et que l'on se rend soudain compte de la quantité incroyable de possibilités.
Tout cela peut presque se rapprocher de l'expérience mystique "classique", ou l'homme regardant les étoiles prend soudain conscience de sa petitesse dans l'univers.
Cette expérience est en fait de l'onanisme intellectuel, une sorte de plaisir de la conscience. C'est ce plaisir qui explique l'aspect ludique des échecs et autres jeux dont l'immensité des possibilités est perceptible.
Entre autre, cela explique la quantité incroyable de jeux "de pavages", c'est à dire dont le but est de construire un pavage :
dimanche 5 septembre 2010
Principe des classes préparatoires
Je trouve que ça résume bien les choses.
(Toute ressemblance du début avec un slogan politique célèbre serait purement fortuite)
mercredi 11 août 2010
Déterminisme en physique
Onques je me demandoy quid du libre arbitre dans la physique moderne ?
Le libre arbitre tel que définit par Conway et Kochen, pour des besoins technique est simplement le non-déterminisme : "il n'existe pas de fonction d'état de l'univers qui permette de calculer l'état futur d'un individu soumis au libre arbitre". Et cette non existence est également valable pour une fonction définie ad hoc, car toute chose égale par ailleur, l'individu libre de ses choix aurait pu faire l'autre choix.
La véritable question est de savoir si une telle chose existe qui ne soit pas le hasard (il y a-t-il du blanc entre le rose et le bleu sur le schéma ?)
Reste le libre arbitre au sens humain : surement pas déterministe (pourquoi ? parce que personne n'aime cette idée) et qui ne peut tout de même pas être aléatoire (même raison)
L'un comme l'autre, personne ne veut croire que sa volonté est dictée par un dé ou écrite dans les étoiles.
Ce schéma est organisé du haut vers le bas, du plus simple (calculable) au plus complexe (aléatoire pure).
La place de la physique quantique peut gêner certains, en effet la mécanique quantique est purement déterministe (équation de Schrödinger), c'est au voisinage de la physique usuelle (mesure) que ces phénomènes deviennent aléatoires.
Pour ce qui est des Univers de Pavages c'est un exemple d'univers déterministe non-calculable (cf Penrose "Les deux infinis de l'esprit humain"). Le temps de cet univers est discret et l'état de l'univers est donné par deux ensembles de pavés. La règle d'évolution vérifie si les pavés d'un des ensembles pavent le plan, c'est ce qu'on appelle le problème de Wang qui n'est pas calculable. D'autres exemples existent peut être dans notre physique bien à nous...
Le libre arbitre tel que définit par Conway et Kochen, pour des besoins technique est simplement le non-déterminisme : "il n'existe pas de fonction d'état de l'univers qui permette de calculer l'état futur d'un individu soumis au libre arbitre". Et cette non existence est également valable pour une fonction définie ad hoc, car toute chose égale par ailleur, l'individu libre de ses choix aurait pu faire l'autre choix.
La véritable question est de savoir si une telle chose existe qui ne soit pas le hasard (il y a-t-il du blanc entre le rose et le bleu sur le schéma ?)
Reste le libre arbitre au sens humain : surement pas déterministe (pourquoi ? parce que personne n'aime cette idée) et qui ne peut tout de même pas être aléatoire (même raison)
L'un comme l'autre, personne ne veut croire que sa volonté est dictée par un dé ou écrite dans les étoiles.
Ce schéma est organisé du haut vers le bas, du plus simple (calculable) au plus complexe (aléatoire pure).
La place de la physique quantique peut gêner certains, en effet la mécanique quantique est purement déterministe (équation de Schrödinger), c'est au voisinage de la physique usuelle (mesure) que ces phénomènes deviennent aléatoires.
Pour ce qui est des Univers de Pavages c'est un exemple d'univers déterministe non-calculable (cf Penrose "Les deux infinis de l'esprit humain"). Le temps de cet univers est discret et l'état de l'univers est donné par deux ensembles de pavés. La règle d'évolution vérifie si les pavés d'un des ensembles pavent le plan, c'est ce qu'on appelle le problème de Wang qui n'est pas calculable. D'autres exemples existent peut être dans notre physique bien à nous...
samedi 10 juillet 2010
Universal Turing Machine for Warcraft III
Vous connaissez peut-être (sans doute) le jeu vidéo de 'stratégie' en temps réel Warcraft 3.
Il est doté d'un éditeur de carte et de scénarios nommé World Editor, qui est d'une puissance phénoménale. Il permet de modifier la quasi totalité des règles et constantes du jeu pouvant ainsi créer des jeux de saute moutons, arcade, rpg, ... dans l'univers Warcraft.
Cet éditeur est tellement puissant que je me suis attaché à (en quelque sorte) démontrer sa puissance. Si vous avez lu le titre, vous comprenez sans doute où je veux en venir : j'ai construit une machine de Turing universelle sous Warcraft !
Le fichier se comporte comme une carte Warcraft habituelle, on peut y 'jouer' (nécessite W3 + tFT )
Pour rendre la chose un peu plus ludique, on commence par construire les états de sa machine (un peu comme on construit sa base sous warcraft 3), puis on édite la table de la machine, enfin, on peut modifier le ruban avant de lancer la machine... amusez vous bien !
Disponible gratuitement en téléchargement : ici.
(sous license CC pour tout ce qui n'est pas sous copyright Blizzard)
Il est doté d'un éditeur de carte et de scénarios nommé World Editor, qui est d'une puissance phénoménale. Il permet de modifier la quasi totalité des règles et constantes du jeu pouvant ainsi créer des jeux de saute moutons, arcade, rpg, ... dans l'univers Warcraft.
Cet éditeur est tellement puissant que je me suis attaché à (en quelque sorte) démontrer sa puissance. Si vous avez lu le titre, vous comprenez sans doute où je veux en venir : j'ai construit une machine de Turing universelle sous Warcraft !
Le fichier se comporte comme une carte Warcraft habituelle, on peut y 'jouer' (nécessite W3 + tFT )
Pour rendre la chose un peu plus ludique, on commence par construire les états de sa machine (un peu comme on construit sa base sous warcraft 3), puis on édite la table de la machine, enfin, on peut modifier le ruban avant de lancer la machine... amusez vous bien !
Disponible gratuitement en téléchargement : ici.
(sous license CC pour tout ce qui n'est pas sous copyright Blizzard)
dimanche 4 juillet 2010
Sémantique du noyau
samedi 27 février 2010
Théorème de Lagrange
Une démonstration du théorème de Lagrange "à la main" : sans la propriété universelle du quotient...Elle est donc accessible à un étudiant de Mpsi.
Théorème de Lagrange
Si je me souviens bien, quand notre professeur de Mpsi nous l'as démontré elle a dit: "voila, c'est la première fois que vous faites des maths pour de vrai... C'est surprenant, mais c'est ça les maths !"
Théorème de Lagrange
Si je me souviens bien, quand notre professeur de Mpsi nous l'as démontré elle a dit: "voila, c'est la première fois que vous faites des maths pour de vrai... C'est surprenant, mais c'est ça les maths !"
Straight from The Book
Une démonstration topologique de l'infinité des nombres premiers...
Infinité des nombres premiers
Elle semble vraiment sortie du "Livre" imaginé par Paul Erdös
Infinité des nombres premiers
Elle semble vraiment sortie du "Livre" imaginé par Paul Erdös
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